Wenn f(x)=e^x, dann ist f ' (x)=e^x
andere SW: Wenn f(x)=exp(x), dann ist f ' (x)=exp(x)
wenn das so ist, kann man das beweisen?
wenn das nicht so ist, welche funktion ist ebenfalls seine eigene ableitung und wieviele solche funktionen gibt es?
@qm_sirius:
Warum ist das Integral von df / f gleich dem von ∫ 1/f df ?
(in den Zeilen dx = df / f
∫ dx = ∫ 1/f df
Best answer:
Answer by Markus Hillebrand
Ableiten mit Kettenregel. D.h. innere mal äußere Ableitung.
f`(x)=v`(x)·u'(v(x)) wobei v innere und u der äußere Term ist.
innere Ableitung hier: 1 (x abgeleitet...)
äußere Ableitung hier: e^x (e abgeleitet,das x bleibt auch da)
innere mal äußere Ableitung:
1*e^x = e^x
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f (x) = df/dx
AntwortenLöschenf * dx = df
dx = df / f
∫ dx = ∫ 1/f df
x = ln f
e^x = f (x)
Wenn eine Funktion identisch ist mit ihrer ersten Ableitung, dann bedeutet das, dass an jeder Stelle xo der Funktionswert mit dem Anstieg der Funktion übereinstimmt.
AntwortenLöschenHat die Funktion positive Werte, muss sie dort also lokal steigend sein, hat sie negative Werte, muss sie fallend sein.
Das gilt einmal für die Funktion f mit
y = f(x) = e^x
Das gilt aber auch für die Funktion f mit
y = f(x) = - e^x
Auch hier ist f '(x) = f(x) für alle x, denn
( - e^x)' = - e^x
Das gilt aber auch für die konstante Funktion f mit
y = f(x) = 0
y' = f '(x) = [0]' = 0, also
f(x) = f '(x)
Diese Funktion ist an keiner Stelle steigend oder fallend, behält also immer den Funktionswert y = 0
Darüber hinaus ist die Aussage invariant gegenüber der Multiplikation mit jedem beliebigen konstanten Faktor.
(a*e^x)' = a * (e^x)' = a*e^x
Für a > 0 sind das streng monoton steigende Funktionen mit ausschließlich positiven Funktionswerten.
Für a < 0 sind das streng monoton fallende Funktionen mit ausschließlich negativen Funktionswerten.
Für a = 0 ist das die oben beschriebene konstante Funktion f mit y = f(x) = 0
@Markus und qm
Das ist keine Beweisführung.
Ihr dreht Euch im Kreise, weil Ihr bei Eurem vermeintlichen Beweis genau das voraus setzt, was zu beweisen wäre.
Wenn zu beweisen wäre, dass (e^x)' = e^x) ist, könnte man das beispielsweise über den Grenzwert des Differenzialquotienten und die Ableitungsregel für Umkehrfunktionen machen, nämlich so:
Zunächst bilde ich die Ableitung der Funktion des natürlichen Logarithmus:
Gegeben sei f mit
y = f(x) = ln x
Ich bilde zunächst den Differenzenquotienten:
D(h) = 1/h * [ln (x+h) - ln x]
= 1/h * ln[(x+h)/x]
= 1/x * x/h * ln ( 1 + h/x)
= 1/x * x/h * ln [ 1 + 1/(x/h)]
= 1/x * ln [ 1 + 1/(x/h)]^(x/h)
Jetzt bilden wir den Grenzwert für h -> 0
(ln x)' = lim h -> 0 von 1/x * ln [1 + 1/(x/h)]^(x/h)
= 1/x * ln von lim [1 + 1/(x/h)]^(x/h)
= 1/x *ln e
= 1/x
Damit gilt:
( ln x)' = 1/x
Nun die Ableitungsregel für Umkehrfunktionen:
dy/dx = 1 / (dy/dx), also
y = f(x) = e^x
x = f(quer) (y) = lny
(e^x)' = 1/(ln y)' = 1/(1/y) = y = e^x
Und in der Großtechnik nimmt man Phasenverschiebungen in Kauf und verwendet gern sinusförmige Wechselspannungen/-ströme. Warum? 1.) Sie lassen sich leicht erzeugen, 2.) an Induktivitäten und Kapaziäten ändert sich die Kurvenform nicht. 3.) die Beschränktheit 4.) Periodizität.
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