Montag, 24. Dezember 2012

Q&A: Gleichung der Tangente an den Graphen im Punkt P bestimmen?

Question by Laura R.: Gleichung der Tangente an den Graphen im Punkt P bestimmen?
Habe hier eine Frage zu Mathe, und zwar ist eine Funktion f(x) gegeben und man soll dazu die Gleichung der Tangente bestimmen, die durch einen bestimmten Punkt P geht
f(x) = 2/x-1; P(2/f(2))

Wie mache ich das jetzt??
danke


Best answer:

Answer by Ursula
die steigung an einer stelle x ist der funktionswert der ersten ableitung:

f´(x)=-2/x^2

der x-wert des punkes ist 2:

m=f´(2)=-2/2^2=-2/4=-0,5

der y-achsenabschnitt ist n=f(x)-mx

n=f(2)-0,5*2=0-(-0,5)*2=0,5*2=1

g(x)=-0,5x+1


@element

wieso soll das nicht stimmen?

f(x)=2/x-1, die 1 steht nicht im nenner, sonst hätte man eine klammer setzen müssen: f(x)=2/(x-1)

f(x)=2/x -1 =2*x^(-1) -1
f´(x)=2*(-1)*x^(-2) ableitung von -1 ist null, dieses glied fällt in der ableitung weg
=-2/x^2



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3 Kommentare:

  1. Nachtrag:
    Sorry, das ist die Lösung für eine Aufgabe der Form:
    Lege von einem Punkt außerhalb des Schaubilds eine Tangente an die Kurve,
    das kannst du dann für's nächste Mal abspeichern ;-)



    Kennst Du die allgemeine Tangentengleichung?
    Setze die Koordinaten des Punktes statt x und y dort ein und berechne so x0.
    Setze x0 in f(x) ein ,
    x0 und f(x0) sind die Koordinaten des Berührpunkts.
    Setzte diesen in die allgemeine Tangentengleichung ein und du hast die gesuchte Tangente(n).

    Hast du eigentlich die letzte Aufgabe gelöst bekommen?
    Wenigstens eine Rückmeldung wäre schon schön, wenn du willst, dass man dir weiter hilft!

    PS Die erste Antwort ist falsch, die Ableitung stimmt nicht.

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  2. x(f1)=2/x-1; P + f2 x2
    f=P

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  3. Hallo Julia,

    Die allgemeine Tangentengleichung lautet:

    t(x) = f'(u) * (x-u) + f(u) --> Auswendig lernen.

    So, jetzt muss man nur noch wissen was du für die Parameter einsetzen musst.
    Erstmal gilt:
    u ist der spezifische x-Wert, x der allgemeine.

    --> Für x bleibt x stehen.

    u hast du gegeben, da du einen Punkt gegeben hast [P(2/f(2))] Die x-Koordinate des Punktes entspricht u.

    --> u=2

    Jetzt fehlen noch f(u) und f'(u).
    Dafür musst du etwas rechnen.
    f(x) = 2/x-1
    f(u) = f(2) = 2/2-1 = 1-1 = 0 Hier setzt du einfach den x-Wert in den Funktionsterm ein um den y-Wert zu bestimmen, da dieser in deiner Aufgabenstellung nicht gegeben ist. (Ansonsten: y-Koordinate)

    --> f(u)=0

    Für f'(u) muss zunächst f(x) abgeleitet werden:
    f(x) = 2/x - 1 = 2*(x^-1) - 1
    f'(x) = -2*(x^-2) = -2/x²
    Nun setzen wir u=2 in f' ein:
    f'(u) = -2/2² = -2/4 = -0,5

    So wir haben nun alle benötigten Informationen um die Tangentengleichung aufzustellen:

    u = 2
    f(u) = 0
    f'(u) = -0,5

    t(x) = f'(u) * (x-u) + f(u) = (-0,5) * (x-2) + 0

    t(x) = -0,5x +1

    Ich hoffe, das ist verständlich ?

    P.S.: Auch Ursulas Lösungsweg (Punktprobe) führt in diesem Fall zum Ziel, kann jedoch in seltenen Fällen SEHR kompliziert werden. Auch wenn dieser Lösungsweg zunächst komplizierter aussieht, kann er bei zunehmendem Schwierigkeitsgrad der zu lösenden Aufgabe immer noch hilfreich sein -> Einmal gelernt und immer in Mathe-Klausuren anwendbar.

    P.P.S.: Selbstredend stimmt die Ableitung des ersten Lösungsweges - es sei denn du hast die Funktionsgleichung anders gemeint, als sie da steht.

    Es ist ein unterschied zu schreiben:
    f(x) = 2/x-1
    und
    f(x) = 2/(x-1) -> Wenn das '-1' unter dem Bruchstrich steht. Dann sind beide Ableitungen hier falsch. Ansonsten gilt Punkt vor Strich, also die Division vor der Subtraktion.

    (2/x) - 1

    (2/x) kann umgeschrieben werden in 2 * (1/x)
    (1/x) kann umgeschrieben werden in x^(-1)
    (2/x) - 1 kann also umgeschrieben werden in 2 * x^(-1) - 1

    Beim Ableiten fällt die Subtraktion von 1 weg, 2 * x^(-1) gibt abgeleitet -2 * x^(-2) (Potenzregel!)
    -> Die Ableitung ist korrekt.

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