Wenn 2 Punkte einer Exponentialfunktion gegeben sind, mit welchem Rechenweg kann ich dann die Funktionsgleichung errechnen.
Aber in meinem Fall habe ich nur 2 Punkte und noch nichts mit einem exponenten.
Ich habe bspw. (Bitte für das Beispiel andere Zahlen verwenden): A (0l3) und B(1l7).
An Matherwig: Warum plötzlich "=3k" ("ln(5) = 3k*ln(e) = 3k") ?
Das verstehe ich nicht ganz.
An Matherwig: Warum plötzlich "=3k" ("ln(5) = 3k*ln(e) = 3k") ?
Das verstehe ich nicht ganz.
Best answer:
Answer by asimov
indem du die teilst
an = a1 * q^(n-1)
am = a1 * q^( m-1)
dann hast du
an/am = k = q^ b
b= n-m
und b´the wurzel ziehen
wenn es um f(x) = a* e^kx geht , funktioniert genau so
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Du kennst von deiner Funktion f(x) = a*e^(kx) z. B. die Punkte
AntwortenLöschenA(0/2) und B(3/10).
Wir setzen die Koordinaten von A ein:
2 = a*e^(k*0)
Da k*0 = 0 und e^0 = 1
=> 2 = a
Nun die Koordinaten von B:
10 = 2*e^(k*3)
5 = e^(3k)
nun logarithmieren
ln(5) = ln(e^(3k))
ln(5) = 3k*ln(e) = 3k
k = ln(5)/3 = 0,53647.....
f(x) = 2*e^(0,53647..*x)
Ja warum?
Ganz einfach: ln(e) = 1
Gib es einmal in deinen Rechner ein, du wirst 1 bekommen.
Du kannst es auch mit der Definition des Logarithmus erklären.
Der Logarithmus einer Zahl Z zu einer Basis b ist jene Hochzahl x, für die gilt:
Z = b^x
Der natürliche Logarithmus ln(x) hat die Basis e.
ln(e) = x bewirkt also die Gleichung: e^x = e => x = 1
5 = e^(3k)
AntwortenLöschenln (5) = ln [ e^(3k) ]
Definitioin des Logarithmusses: ... ist dei Zahl mit der man e potenzieren muss, um e^(3k) zu erhalten; man muss e mit 3k potenzieren, um e^(3k) zu erhalten.
Beispiel: f(x)=c⋅a^x oder y=c⋅a^x
AntwortenLöschenDu hast also die Koordinaten von zwei Punkten (x|y). Diese setzt Du - nacheinander - in die Gleichung ein, so dass Du zwei Gleichungen erhältst.
Sei etwa P( 0 | 5 ), dann ergibt sich 5=c⋅a⁰ ⇒ c=5 ⇒ y=5⋅a^x.
(Meist hat man so einen speziellen Punkt dabei, der das Rechnen vereinfacht.)
Sei Q( 3 | 40 ), dann erhältst Du 40 = 5⋅a³ → a³ = 8 → a=2 → f(x) = 5 ⋅ 2^x.
Schwieriger ist es, wenn Du nicht so einen einfachen Punkt dabei hast, also ein (nicht lineares!) Gleichungssystem erhältst.
Beispiel: T( 2 | 3 ) und U( 3 | 9 )
3 = c ⋅ a² → c = 3 / a²
9 = c ⋅ a³ → c = 9 / a³
gleichgesetzt: 3 / a² = 9 / a² ⇔ 3a³ = 9a² ⇔ a=0 (sollte entfallen), aber a=3 ist Lösung,
woraus sich c=⅓ ergibt, und die Funktionsgleichung ist y = ⅓ ⋅ 3^x.