Für welches a wird der Flächeninhalt zwischen f(x) und der x-Achse minimal?

Question by cinja: Für welches a wird der Flächeninhalt zwischen f(x) und der x-Achse minimal?
Gegeben ist ist die Funktion: f(x)= (1-a)x² - ax.
Für welchen Wert von a (für a>1) wird der Inhalt der Fläche, die der Graph der Funktion f mit der x-Achse einschließt, minimal? Gib den minimalen Wert an.
(Zwischenergebnisse: Der Flächeninhalt sollte mit A(a) = (a³)/ (6(1-a)²) ermittelt werden; die 2. Ableitung muss nicht ermittelt werden: A''(x)= a/ (1-a)^4 )


Best answer:

Answer by Marco
da a > 1 ist der graph der funktion eine nach unten geöffnete parabel..

die nullstellen (man setzt hierzu f(x) = 0 und löst nach x auf) sind 0, rsp. a/(1-a).

dann bestimme man das bestimmte Integral von o bis a/(1-a):

(1-a)*x^3/3 - a*x^2/2 + C (Integrationskonstante).

setze in diese stammfunktion einmal x = a/(1-a) und dann x = 0 ein und subtrahiere die ergebnisse:

also: (1-a)*(a/(1-a))^3 / 3 - a*(a/(1-a))^2 / 2 + C - (0 + C) = siehe aufgabenstellung A(a).

setze dann A'(a) = 0 und du erhälst das gesuchte a.

Dieses a dann einsetzen in A(a), damit du die gesuchte fläche kriegst.

nachweis des minimums indem du zeigst, dass A''(a) > o.

reicht das?
gruss

Give your answer to this question below!