Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=2/x und der Punkt Q(u l f(u)) auf dem Graphen von f. Bestimmen sie u so, dass der Abstand von Q zum Ursprung minimal wird.
Bitte nicht nur das Ergebnis, Taschenrechner sind erlaubt.
Ich hab keine ahnung was du hier gemacht hast
d(O|Q) = d(u) = √[(u-0)² + ((2/u)-0)²]
= √[u² + (2/u²)] = √[u² + 2*u^(-2)]
[u² + 2*u^(-2)]^((1/2) -> Min
Best answer:
Answer by Tom
Du hast bestimmt u>0 vergessen!?
Q(u|f(u)) => Q(u|2/u)
d(O|Q) = d(u) = √[(u-0)² + ((2/u)-0)²]
= √[u² + (2/u²)] = √[u² + 2*u^(-2)]
[u² + 2*u^(-2)]^((1/2) -> Min
Das leitest Du zweimal ab, setzt die erste Ableitung gleich 0,
rechnest die Lösungen der erhaltenen Gleichung aus. Diese
setzt Du zur Kontrolle in die zweite Ableitung ein - für ein
Minimum muss diese ja größer als 0 sein.
Ich rechne das jetzt gleich mal mit dem Taschenrechner, weil
es mir zu umständlich ist, hier alles einzuhacken.
Dadurch erhalte ich u ≈ 1.19, Q(1.19|1.68)
und d(MIN) ≈ 2.06LE.
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PS.: Meine Lösung beinhaltet einen Fehler! Unter
der Wurzel muss es 4*u^(-2) heissen!!!
WURZELGNOMS LÖSUNG IST ABER RICHTIG!!!
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Q hat die Koordinaten Q[(u | f(u)] = Q(u | 2/u)
AntwortenLöschenDen Abstand zum Koordinatenursprung ermitteln wir über den Lehrsatz des Pythagoras
[OQ] = √[u² + (2/u)²] = √(u² + 4/u²)
Die Wurzel wird minimal, wenn der Radikand minimal ist, also untersuchen wir
ф mit y = ф(u) = u² + 4/u² auf minima.
( u² + 4/u²) ' = 2u - 4*2u/(u²)² = 2u - 2*4/u³ = 2(u - 4/u³)
Das verschwindet für u = 4/u³, also
u^4 = 4
u = +/- 4.wurzel(4)
u = +/- √2
u = +/- 1,414 (rund)
Da die Funktion ungerade ist, liegt der Graph zentralsymmetrisch bzgl. O
Es gibt also zwei Lösungen für Q
Q1 = ( - √2 | - 2/√2) = (- √2 | - √2)
und
Q2 = (√2 | 2/√2) = (√2 | √2)
Auf den Nachweis des Minimums kann aus mathematischer Sicht hier verzichtet werden. Es gibt nur diese beiden extremwertverdächtigen Stellen. Für x -> 0, x -> -oo und x -> +oo strebt die Abstandsfunktion gegen +oo
(an den Randstellen der Teilintervalle des Definitionsbereichs)
Der minimale Abstand [QO] der Punkte Q1 und Q2 zum Koordinatenurspung O ist damit für beide Punkte 2.