Die Ebenen gleichung lautet:
E. x(vektor)= (2/1/2)+r(1/3/0)+s(-2/1/3)
Da man n vektor direkt ablesen kann (ich vermute es mal) : n =(2/1/2)
Müsste man dann wahrscheinlich n vektor mit den beiden spannvektoren multiplizieren...dann diese beiden unterbestimmten Gleichungen die man daraus bekommt mit dem gaußverfahren? ausrechen ??...ab da komme ich leider nicht mehr weiter ;/...
Habe die beiden untereinander gestellt und als ergebnis das hier bekommen : x1= 1,5 x2=-1..x3=0 ?
??????
Noch etwas(eine andere aufgabe) : E.x vektor= r(2/1/2)+s(1/1/5) wie rechne ich n vektor aus????? ;(
Best answer:
Answer by KN
Ich schreibe nachfolgend Vektoren in Großbuchstaben und Skalere in Kleinbuchstaben.
Den Normalenvektor N erhälst Du über des Kreuzprodukt der Vektoren die bei r und t stehen:
N= (1,3,0) x (-2,1,3)
den Du auch noch normieren kannst, indem Du durch |N| = Wurzel(139) dividiert.
Für die Ebenengleichung multipliziert du einen Punkt der Ebene, z.B.(2,1,2) skalar mit dem Normalenvektor, also
d= (9,-3,7).(2,1,2) = 29
und du bekommst die Ebenengleichung
N X = d
(9,-3,7) X = 29
Die zweite kannst Du zu Übungszwecken selbst rechen und
(3, -8, 1) X = 0
rauskriegen
Know better? Leave your own answer in the comments!
Also, der Normalenvektor steht ja senkrecht auf der Ebene.
AntwortenLöschenAlso muss das Skalarprodukt null sein.
Den n Vektor kannst du nur ablesen, wenn die Koordinatenform gegeben ist, nicht bei der Parameterform.
1. Vektor v * vektor n = 0
(1/3/0) * (n1/n2/n3) = 0
1 n1 + 3 n2 = 0
daraus folgtalso: n1 = -3n2
2. Vektor u * vektor n = 0
(-2/1/3) * (n1/n2/n2) = 0
-2 n1 + 1 n2 + 3 n3 = 0
Du kannst jetzt das ergebnis aus 1. einsetzen
-2 * (-3n2) + n2 + 3 n3 = 0
7 n2 + 3 n3 = 0
daraus folgt n3 = -7/3 n2
Also hast du alles in abhaengigkeit von n2 berechnet und der Normalenvektor lautet
(-3 n2/ n2 / -7/3 n2)
Den kannst du ja beliebig verlaengern, hier wuerde ich ihn mal drei nehmen, um den bruch wegzukriegen
also setzt du n2 = 3
Dann ist es (-9 / 3 / -7 )
und so heisst die Normalform
[ vektor x - (2/1/2)] + (-9 / 3 / -7) = 0
So, jetzt bildet der normalenvektor die Koeffizienten der Koordinatenform, also
-9x + 3y -7z
Die Zahl hinter dem gleichheitszeichen kriegst du raus, indem du das Skalarprodukt von Punkt und Normalenvektor ausrechnest. D.h.
2 * -9 + 1 * 3 + 2 * -7 = -29
Also
-9x + 3y -7y = -29
Fertig :)
Sieht jetzt viel aus, ist es aber nicht.
Die zweite aufgabe ist genau wie oben, du musst den n vektor genauso ausrechnen. Versuch es mal, wenns nicht klappt, sag bescheid wo es harkt, ich guck regelmaessig in den Beitrag :)
Das ist ganz einfach. Du hast hier eine Parameterform gegeben. Die beiden Richtungsvektoren musst du nun mit dem Kreuzprodukt multiplizieren. Daraus erhältst du den Normalenvektor.
AntwortenLöschenDaraus kannst du dann die Normalenform erstellen. In die setzt du dann den Richtungsvektor (2/1/2) ein um den y-Wert zu bekommen.
Um die Nomalenform zu erstellen brauchst du nun den Normalenvektor (bereits ausgerechnet) und den Richtungsvektor (ablesen). Und schon bist du fertig.
___________________
Warum gibt man mir Daumen runter? Die Antwort ist völlig richtig und man soll nicht immer alles vorrechnen, da lernt ja keiner was...
E: vektor X= (2/1/2) + r⋅(1/3/0) + s⋅(-2/1/3)
AntwortenLöschenRichtig ist: Die beiden Spannvektoren (hinter r bzw. s) müssen orthogonal ( ⊥ ) zum Normalenvektor N sein. Wenn Du nun die Koordinaten von N nimmst und skalar mit den beiden Spannveltoren multiplizierst, müsste in beiden Fällen Null herauskommen:
1x + 3y + 0z = 0
-2x + 1y + 3z = 0
------------------------
x + 3y ____= 0 _______ | z. B. x = -3y in die zweite Gl. einsetzen
-2x + y + 3z = 0
-----------------------
-2⋅(-3y) + y + 3z = 0
3z = 5y
WÄHLST Du jetzt Werte für y und z, die diese Gleichung erfüllen, hast Du schon EINEN Normalenvektor:
y=3 und z=5 (beispielsweise)
N: ( -9 / 3 / 5 )
Du solltest gut verstanden haben, wie die Normalenform einer Ebene aufgestellt wird (oder nimmst eben die Formel aus einem Tafelwerk):
⎡ ⎛x⎞ . ⎛2⎞ ⎤ . ⎛9⎞
⎢ ⎜y⎟ - ⎜1⎟ ⎥ • ⎜3⎟ = 0
⎣ ⎝z⎠ . ⎝2⎠ ⎦ . ⎝5⎠
Dabei steht in der eckigen Klammer der Ortsvektor des Punktes, der Dir mit der Parametergleichung gegeben wurde.
Um jetzt die (bzw. eine) Koordinatengleichung zu finden, musst Du nur die in der Normalengleichung stehenden Rechenoperationen "befolgen", also das Skalarprodukt ausrechnen:
(x-2) ⋅ 9 + (y-1) ⋅ 3 + (z-2) ⋅ 5 = 0
↑ Das kannst Du bestimmt selbst umformen bzw. vereinfachen.
Nur ein Tipp zu Deiner zweiten Aufgabe (üben musst Du schon selbst):
Da diese Ebene offensichtlich den Ursprung enthält, sollte bei der Koordinatengleichung am Ende "=0" herauskommen. Ein möglicher Normalenvektor wäre: ( 3 / -8 / 1 )