Question by Lady Gorgonzola: bWie soll ich rechnerisch die Gleichung der Tangente an den Graphen von f im Punkt P bestimmen?
a)
f (x) = x²-1/2 cos(x); P(7/4 Pi | ?)
b)
f (x) = 3 sin (x) ; P (5 Pi/3 |?)
c)
f (x) = x + 2 sin (x) ; P ( Pi/4 |?)
Best answer:
Answer by Tom
Ich löse dies nur für a). Dann dürfte die
Vorgehensweise klar sein.
yP = f(xP) = f(7/4*Pi) = 29.87
(Taschenrechner im Bogenmaß)
f´(x) = 2x + 1/2 sin(x)
=> m = f´(xP) = f´(7/4*Pi) = 10.642025
=> t: y = 10.642025*x + n
P(7/4*Pi | 29.87) => 29.87 = 10.642025*(7/4*Pi) + n
=> n = -28.635478
=> t: y = 10.642025*x - 28.635478
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Ich beschreibe es anhand des 2. Beispiels auch mal mit begleitenden Worten.
AntwortenLöschenf(x) = 3sin(x)
Die 1. Ableitung gibt die Steigung der Funktion in einem Punkt x an. Also wird die 1. Ableitung gebildet:
f'(x) = 3cos(x)
Nun soll im Punkt P(5|⅓π) die Tangente an die Kurve bestimmt werden. Die Steigung im Punkt P wird ermittelt, indem du x = 5 in die 1. Ableitung einsetzt:
f'(x=5) = 3cos(5) = m
Nun hast du di Gleichung der Tangente:
y = mx + b
und einen Punkt P.
⅓π = 3cos(5)*5 + b => b = ⅓π - 15cos(5)
y = 3cos(5)*x + [⅓π - 15cos(5)]
Du willst die Gleichung der Tangente, also eine Geradengleichung bestimmen. Dafür nutzt du alle Daten aus, die du bereits kennst. Mal sehen, was weißt du denn schon:
AntwortenLöschen1. Die Tangente ist eine Gerade, hat also eine Gleichung der Form y=mx+b, wobei m die Steigung der Tangenten ist. Wenn wir m und b kennen, sind wir fertig.
2. Die Tangente geht durch den Punkt P; denn da berührt sie ja den Graphen von f. P ist also Punkt der Geraden.
3. Die Tangente "tangiert" den Graphen nur! Das bedeutet, im Punkt P muss der Graph die selbe Steigung haben wie die Tangente. Die Steigung des Graphen von f liefert dir die Ableitung f'. Es muss also gelten: f'(x) = m, wobei x die x-Koordinate von P ist (oder anders gesagt: x ist die Stelle, an der die Tangente den Graphen berührt).
Ich mache dir das mal am ersten Beispiel vor: f(x) = x² - 1/2cos(x); P(7/4Pi|?)
A) Berechne erstmal die y-Koordinate: y = f(7/4Pi) = 49/16 - 1/2cos(7/4Pi) = 29,872 (P.S.: Ich verrechne mich oft! Bitte nachrechnen!)
-> P(7/4Pi|29,872)
m berechnen:
B) Die Funktion ableiten: f'(x) = 2x + 1/2sin(x)
C) x einsetzen: f'(7/4Pi) = 2*7/4Pi + 1/2sin(7/4Pi) = 10,642 = m
Nun hast du schonmal m! Deine Gleichung sieht jetzt so aus: y = 10,642x + b. b musst du noch berechnen!
D) b berechnen: Dazu nutzen wir Punkt 2 aus: Wir wissen, dass die Gerade durch den Punkt P(7/4Pi|29,872) geht, also gilt:
29,872 = 10,642*7/4Pi + b
Das musst du nun nur noch umstellen und erhälst b = -28,635.
E) Deine Gleichung lautet: y = 10,642x - 28,635