Hallo!
Das ist keine Hausaufgabenhilfe.
Ich gehe nicht mehr in die Schule, möchte aber die Sparkassenformel genau verstehen.
Kn = (Ko * q^n) + R * ((q^n)-1/q-1)
(Ko * q^n) ist soweit klar.
Allerdings möchte ich Wissen, wie sich ((q^n)-1/q-1) herleitet.
Warum kann diese Berechnung so verkürzt werden?
Bitte in einfachster Erklärung, ich hab leider keinen hohen IQ.
"Die erste Rate nach dem ersten Jahr bekommt aber nur (n-1) Jahre Zinsen. Die zweite Rate nach dem zweiten Jahr bekommt (n-2) Jahre Zinsen."
Ist schon einmal sehr gut, aber wie komme ich dann aber von
(r*q^n)+(r*q^(n-1))+ ... +(r*q^1)
auf
die verkürzte Version
r * ((q^n)-1/q-1)
Welche Logik/Gedankengang steckt da dahinter?
Die Beschreibung in Worten fehlt mir in Wikipedia.
Best answer:
Answer by i^(-i) = 4,810...
Es wäre schon hilfreich wenn du sagen würdest was die einzelnen Variablen sind ... und was die Formel ausdrücken soll ... dann könnte man auch eien Herleitung versuchen.
Ansich... ein hoher IQ ist belanglos, solnage man auch sienen niedrigen IQ voll ausnutzt ... ;)
Was bringt es ein IQ von 200 zu haben, wenn man nur 50 davon nutzt ?
Des weiteren verwechseln viele intelligenz mit Wissen, das eine hat mit den andern nicht viel zu tun ...
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Die Sparkassenformel wird in [1] hergeleitet.
AntwortenLöschenq ist der Aufzinsfaktor. Es wird davon ausgegangen, dass der Zinssatz immer gleich hoch ist. q berechnet sich nach
q = 1 + Prozentsatz/100%
Also bei einem jählichen Zins von 2% ist q = 1,02.
Ko ist das Kapital am Anfang. Der Index 0 steht für die Jahreszahl. 0 ist der Start. Nach n Jahren ist aus dem Anfangskapital Ko das Kapital Ko * q^n geworden.
Zusätzlich zum Anfangskapital wird in jedem Jahr eine Rate R auf das Sparbuch eingezahlt. Diese Raten werden auch verzinst.
Die erste Rate nach dem ersten Jahr bekommt aber nur (n-1) Jahre Zinsen. Die zweite Rate nach dem zweiten Jahr bekommt (n-2) Jahre Zinsen.
Das genau auszurechnen ist mit Formeln verbunden, kann ich also nicht mit Worten beschreiben. In [2] wird die Formel mathematisch hergeleitet. Kernpunkt ist, dass die Summe über die q^k eine endliche geometrische Reihe bilden. Dafür gibt es eine Formel [3], die wiederum hergeleitet werden kann.
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Zu den Details:
Der zweite Summand ist die Summe der Raten R mit den Zinsen auf die Raten.
Z = R * q^(n-1) + R * q^(n-2) … + R * 1
Der Faktor R taucht auf der rechten Seite in jedem Summanden auf, kann also ausgeklammert werden.
Z = R * { q^(n-1) + q^(n-2) + … + 1 }
Die Reihenfolge der Summanden in der geschweiften Klammer umdrehen.
Z = R * { 1 + … + q^(n-2) + q^(n-1) }
In der geschweiften Klammer steht eine Summe mit großer Regelmäßigkeit. Jedes Glied in der Summe ist der Wert links mal q. Diese Reihe nennt sich endliche geometrische Reihe. Unter diesem Namen findet sich der Wert in einer Formelsammlung (z. B. [3]) :
1 + … + q^(n-2) + q^(n-1) = ( q^n – 1 )/( q – 1 )
Diese Formel lässt sich mit der Methode der vollständigen Induktion beweisen.
Induktionsanfang n = 1
1 = ( q^1 – 1 )/( q – 1 ) = ( q – 1 )/( q – 1 ) = 1
Induktionsschritt von n auf n+1:
Die Formel gilt für n. Also gilt
1 + … + q^(n-2) + q^(n-1) = ( q^n – 1 )/( q – 1 )
Die Gleichung mit q multiplizieren
q ( 1 + … + q^(n-2) + q^(n-1) )= q ( q^n – 1 )/( q – 1 )
q + … + q^(n-1) + q^(n) = ( q^(n+1) – q )/( q – 1 )
Den Wert 1 zur Gleichung addieren
1 + q + … + q^(n-1) + q^(n) = 1 + ( q^(n+1) – q )/( q – 1 )
1 + q + … + q^(n-1) + q^(n) = ( ( q - 1 ) + ( q^(n+1) – q )/( q – 1 )
1 + q + … + q^(n-1) + q^(n) = ( q^(n+1) – 1 )/( q – 1 )
Damit ist die Formel für n+1 aus der Formel für n hergeleitet.
Aus Induktionsanfang und Induktionsschritt folgt die Gültigkeit der Formel für alle natürliche Zahlen 1, 2, 3, ..