Hallo alle miteinander!
Ich habe mich gefragt, ob die Gleichung
2^a-3^b = 1 auch für andere Werte als a=2 und b=1 gelten kann.
Ich vermute eher nein, hätte aber doch gerne eine mathematische Bestätigung.
Kann mir jemand weiterhelfen?
Ich wäre über jede Hilfe dankbar.
Mit freundlichen Grüßen,
Peter
Ihr habt Recht. Ich meine nur natürliche Lösungen.
Best answer:
Answer by Mirko
Sofern man a und b nicht auf die natürlichen Zahlen beschränkt gibt es sogar unendlich viele Paare a und b, die obige Gleichung erfüllen.
Da bei einer einzigen Gleichung mit zwei Unbekannten notgedrungen eine unabhängig, d.h. frei wählbar ist, ergibt sich durch Auflösen:
2^a = 1 + 3^b und daraus wiederum a = ln(1+3^b) / ln(2)
da 1 + 3^b immer positiv ist, ergeben sich für b keine weiteren Beschränkungen; analog lässt sich b in Abhängigkeit von a ausdrücken.
Nur so am Rande als Anmerkung an Tom:
das als Diophantische Gleichung zu bezeichnen ist etwas weit hergeholt. Eine DG ist definiert als spezielles Polynom, exponentielle diophantische Gleichungen sind Erweiterungen desselben um Terme wie 2^n. In diesem Beispiel könnte man wohl noch die 1 als x^0 sehen um der Definition mit zwei zugedrückten Augen gerecht zu werden, aber das ist schon sehr weit hergeholt. Eine Theorie gibt es dafür ohnehin nicht...
What do you think? Answer below!
Ich glaube Peter meint ganzzahlige Lösungen!
AntwortenLöschenDa fällt mir doch spontan schon mal a=1 und b=0 ein.
Vielleicht hat diese Diophantische Gleichung aber auch
unendlich viele Lösungen? Ich denke noch ein wenig nach...
Nur ein Ansatz, leider noch immer keine Lösung:
AntwortenLöschenIch forme mal um:
2^a - 3^b = 1
<=>
2^a - 1 = 3^b
(2^a - 1^a)/(2 - 1) = 2^a - 1 = 2^(a-1) + 2^(a-2) + 2^(a-3) + 2^(a-4) + ... + 2^1 + 2^0
= 2^(a-1) + 2^(a-2) + 2^(a-3) + 2^(a-4) + ... + 3
Für geradzahlige a ließe sich jetzt immer aus zwei auseinanderfolgenden Summanden ausklammern:
= 2^(a - 2)*3 + 2^(a-4)*3+ ... + 2^0*3 =
= 3[2^(a - 2)+2^(a-4)+ ... + 2^0]
Nun bin ich aber noch nicht viel schlauer, denn ich kann immer noch nicht erkennen, ob der zweite Faktor (es handelt sich hier um eine endliche geometrische Reihe mit q = 4) eine reine 3-er Potenz werden kann.
Durch (q-1), also in diesem Falle (4 - 1) = 3 ist er auf jeden Fall teilbar. Aber kann der zweite Faktor dann eine reine 3-er Potenz sein?
@Orchy
So'n Quatsch!
2^5 - 3³ = 32 -27 = 5
z.B. für a=5 und b=3
AntwortenLöschenHallo Peter,
AntwortenLöschenDu hast Recht, a=2 und b=1 sind für natürliche a, b die einzigen Lösungen der Gleichung 2^a-3^b = 1.
Hier mein Beweis:
Dabei betrachte ich die Fälle a=1, a=2 und a>=3 gesondert:
a = 1: keine natürliche Lösung für b.
a = 2: b=1 als Lösung.
a >=3:
Ich schreibe mal die Gleichung als 2^a = 1 + 3^b (1)
Die Betrachtung Kongruenz modulo 8 (Teilbarkeit duch 8) liefert folgendes. Das Istgleich-Zeichen soll im Folgenden kongruent bedeuten, d.h. eigentlich 3 Striche.
Für die linke Seite von (1) gilt:
2^a = 8*2^(a-3) = 0 mod 8
Es gilt:
3^2 = 9 = 1 mod 8.
Daraus folgt sofort:
b gerade: 3^b = 9^(b/2) = 1 mod 8
b ungerade: 3^b = 3 * 9^((b-1)/2) = 3 mod 8:
Damit gilt für die rechte Seite von (1):
b gerade: 3^b +1 = 2 mod 8
b ungerade: 3^b +1 = 4 mod 8
Damit ist die linke Seite nie gleich der rechten Seite modulo 8, d.h. die Teilbarkeit durch 8 liefert verschiedene Werte, was ein Widerspruch ist. Damit gibt es für a>=3 keine Lösungen.
q.e.d
lg