Question by Ela: Wie kann ich das Max. des Volumens eines Drehkegels berechnen, der in eine Kugel eingeschrieben wird?
Für r (Kugel) gilt: 10 cm
Ich weiß, dass einer Halbkugel ein Drehzylinder und diesem wiederum ein Drehkegel eingeschrieben werden kann, aber ich komme einfach nicht auf die Lösung.
Best answer:
Answer by Wurzelgnom
Mach mal eine Skizze vom Schnitt durch die Kugel!
Das wird ein Kreis mit dem Radius r.
Da setzt Du jetzt den Querschnitt des Kegels rein. Das ist ein gleichschenkliges Dreieck.
Die Grundseite ist der Durchmesser Deines Kegels, also zweimal der Kegelradius R.
Die Höhe ist h = r + x
Jetzt zeichnest Du noch ein Hilfsdreieck ein:
Das ist ein rechtwinkliges Dreieck aus dem Kugelradius r, dem Kegelradius R und der Hilfsgröße x.
Hier gilt: r² = x² + R², also
R² = r² - x²
Und damit kannst Du die Volumenformel für den Kegel als einstellige Funktion in Abhängigkeit von x darstellen.
V(Kegel) = 1/3 п R²h
mit:
h = r + x
R² = r² - x²
und r = const.
Also:
V(x) = 1/3 п (r² - x²) (r + x) =>
V(x) = 1/3 п (r³ - rx² + r²x - x³)
in den Grenzen von 0 < x < r
V'(x) = 1/3 п (- 2rx + r² - 3x²)
Das wird 0 für
-3x² - 2rx + r² = 0 | : (-3)
x² + 2/3 rx - r²/3 = 0
x1/2 = - 1/3 r +/- Wurzel (1/9 r² + r²/3)
x1/2 = - 1/3 r +/- Wurzel (1/9 r² + 3/9 r²)
x1/2 = - 1/3 r +/- Wurzel( 4/9 r²)
x1/2 = - 1/3 r +/- 2/3 r
x1= - r entfällt
(liegt nicht im Definitionsbereich, würde das Volumen V = 0 liefern)
x2 = 1/3 r ist die einzige extremwertverdächtige Stelle im Intervall.
Da im angegebenen Intervall nur positive Werte für das Volumen auftreten und sich für x = r der Wert 0 ergeben würde, muss es sich hierbei um das globale Maximum handeln (weiter Untersuchungen über die 2. Ableitung sind somit überflüssig)
x = 1/3 r
R² = r² - x², also im Extremfall:
R² = r² - 1/9 r²
R² = 8/9 r²
h = x + r, also im Extremfall
h = 4/3 r
V(Kegel) = 1/3 п 8/9 r² 4/3 r
V(Kegel) = 32/81 п r³
(Für r = 10 cm, setzt du jetzt für r³ = 1000 cm³ ein)
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