Question by Ooo Jjj: Was genau ist eigentlich eine e Funktion?
Ich mache gerade eine Mathepräsentation. Es geht dabei um exponentielles und logstisches Wachstum. Beides entspringt ja sozusagen einer e Funktion, nur das es bei der logistischen eine modifizierte Form ist.
Meine Frage wäre jetzt was denn eigentlich eine e Funktion ist. Ich weiß, dass es eine Exponentialfunktion ist und das sie die einzige Funktion ist, die sich beim Ableiten nicht verändert. Nur verstehe ich den Zusammenhang zwischen Exponentialfunktion und exponentiellem Wachstum irgendwie überhaupt nicht und die Artikel die man im Internet findet helfen mir auch nicht wirklich weiter....
Kann mir jemand helfen?
Die genauere Frage ist eigentlich: Wozu benötigt man eine e Funktion?
Best answer:
Answer by qm_sirius
Die e-Funktion ist die einzige Funktion deren Funktionswert gleichzeitig dem Wert der Steigung entspricht.
Oder mathematisch: y = y' bzw. f(x) = df(x)
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die e-Funktion ist für die Differenzialrechnung bei Exponentialfunktionen wichtig.
AntwortenLöschenda du beim ableiten einer Funktion wie f(x)=2^x nicht einfach die herkömmlichen ableitungsregeln anwenden kannst, wird hier die e-Funktion zur Hilfe genommen:
denn die e-Funktion ist ja die einzige Funktion bei der gilt f(x)=f'(x)
funktion=ableitung der funktion
f(x) = b^x
damit gilt für f'(x):
f'(x)= lim(h->0): [b^(x+h)-b^x]/h = b^x * lim(h->0): (b^h-1)/h
(b^h-1)/h entspricht dann (b^0+h-b^0)/h
was das gleiche ist wie f'(0) also die steigung an der stelle Null:
f'(x)=f'(0) * f(x) bei b^x
g(x)= b^x = [e^(ln(b))]^x = e^(ln(b)*x)
g(x)= e^v
g'(x)= e^v * v
v(x)=ln(b)*x; v'(x)=ln(b) -> v'(0)=ln(b)
Kettenregel:
g'(x)= e^[(ln(b))*x] * ln(b) = b^x * ln(b)
und damit kann man dann ableitungen von exponentialrechnungen durchführen ;)
auch benötigt man e-Funktionen in der Physik:
die genaue herleitung mache ich jetzt nicht, aber z.B. der Entlade- oder Aufladevorgang eines Kondensators über einen Widerstand abhängig von der Zeit, wird mit einer e-Funktion berechnet:
U(t) = Uo * e^(t((R*C)) und U(t) = Uo * [1-e^(t((R*C))]
da auch in chemischen vorgängen und in der medizin oft mit Exponentialfunktionen ein Verlauf beschrieben wird. z.B. die Fortpflanzung von Bakterien, der Abbau von Alkohol im Blut oder der radioaktive Zerfall, benötigst du für weitere Rechnungen z.B. für die Geschwindikeit selbst, wieder die Ableitung und damit wieder die e-Funktion.
aber außerhalb der Naturwissenschaften ist die e-Funktion wahrscheinlich doch sehr uninteressant ;)
PS: ln() ist der logarythmus von der basis "e", wird auch natürlicher logarhytmus genannt.