Wie berechnet man die senkrechte Asymptote, die Definitionslücken und die Polstellen?

Question by Leni: Wie berechnet man die senkrechte Asymptote, die Definitionslücken und die Polstellen?
Wie berechnet man die senkrechte Asymptote, die Definitionslücken und die Polstellen bei folgenden Funktionen: a) f(x) = 2/x+3 b) 5/3x-1 c) 2x+1/2x-1 ?

Wenn ich es richtig verstanden haben sollte, dann wäre bei a) doch -3 Definitionslücke, aber ist -3 auch gleich Polstelle?? Ich blick echt nicht durch.

Danke im Vorraus! :)


Best answer:

Answer by Wurzelgnom
Hallo, Heli,
tatsächlich richten sich alle drei Fragen auf das gleiche Problem.

a)
y = f(x) = 2 / (x + 3)

Für x = - 3 ist die Funktion nicht definiert, hat also eine Definitionslücke.
An einer solchen Stelle kann alles Mögliche passieren.

Unter anderem kann es sich um eine Polstelle handeln. genau das ist hier der fall.
Hier gilt nämlich

lim f(x) = lim 2 * lim 1/(x + 3)

Der 1. Faktor ist eine Konstante.
Beim zweiten Faktor hängt das Verhalten der Fun ktionswerte nun davon ab, ob wir uns der Stelle x = - 3 von links oder von rechts nähern.

Wenn x > - 3 ist, ist x + 3 > 0 und damit auch 1/(x + 3) > 0

Also lim 1/(x + 3) für x von rechts gegen - 3 = +oo

Wenn x < - 3, ist x + 3 < 0 und damit auch 1/(x + 3) < 0
Also lim 1/(x+3) für x von links gegen - 3 = - oo

Damit ist der Grenzwert der Funktion links von - 3 auch - oo und
der Granzwert der Funktion rechts von - 3 ist +oo

Die Asymptote ist hier eine Gerade, die parallel zur y-Achse verläuft und die Gleichung x = - 3 hat

Für b) 5/3x-1 c) 2x+1/2x-1 ist das ähnlich

Hier muss man nur die Faktorzerlegung anders machen:
y = f(x) = 5/3x-1 = 5/3 * 1/(x - 1/3) und
y = f(x) = (2x+1)/(2x-1) = (2x+1)/2 * 1(x - 1/2)

Und dann untersuchst Du die Funktionen in der Umgebung von x = 1/3 bzw. von x = 1/2

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