Question by Antonia: Wie finde ich die Formel einer Geometrischen Folge?
Wir haben folgende Aufgabenstellung bekommen:
Paula füllt im Alter von 5 Jahren einen Lottoschein aus. Sie gewinnt satte 85'000.- Ihre Eltern beschliessen, ein Sparkonto mit festem Zinssatz von 2 % jährlich für Paula zu eröffnen und das Geld einzuzahlen. Sobald Paula volljährig wird, darf sie über das Geld verfügen.
Wie finde ich nun eine Formel, für welche ich ein beliebiges Jahr berechnen kann, ohne den Betrag des Vorjahres zu wissen?
Besten Dank für die Hilfe :)
Best answer:
Answer by Lebaer
das ist eine exponentialfunktion und die haben diese form hier
f(x)=c*ahoch x
wenn du jetzt zu deiner aufgabe die spezielle gleichung aufstellen willst musst du wissen, dass c immer als das kapital angesehen werden kann also 85000 euro
a ist dabei der wachstumsfaktor also 2%
da bei dir as wachstum 2% ist ist der wachstumsfaktor 1,02 (100%+2% ergibt 2% wachstum)
x ist in der formel die ziet als hier die jahre die gleichung ist jetzt
f(x)=85000*1,02hochx
beispiel nach 13 jahren wenn sie 18 ist
f(13)=85000*1,02hoch 13
f(13)=109956,56
somit hat sie wenn sie 18 sit etwa 101000 euro
What do you think? Answer below!
Hier.
AntwortenLöschen@wurzelgnom: Es ist zwar toll, dass du die Hausaufgabe für Antonia gelöst hast (das Ergebnis ist nur noch der kleine Schritt), aber gefragt war danach, wo sie die Formel findet. Zu viel Hilfe kann kontraproduktiv sein, im weiteren Leben.
Im Anfang hat sie 85.000 € (oder rumänische Lei oder - weiß der Geier, Du hast es nicht verraten)
AntwortenLöschenNach einem Jahr hat sie 2% mehr, also
f(1) = 1,02*85.000
Nach zwei Jahren hat sie auch davon wieder 2% mehr, also
f(2) = 1,02*1,02*85.000 = 1,02² 85.000
Nach drei Jahren hat sie auch davon wieder 2% mehr, also
f(3) = 1,02*1,02*1,02*85.000 = 1,02³ 85.000
Allgemein:
Nach n Jahren hat sie
f(n) = 1,02^n * 85.000
(Und wir wollen für Paula mal hoffen, dass das keine rumänischen Lei sind, dann hat sie nämlich in 13 Jahren
f(13) = 1,02^13 * 85.000 = 109.956,56)
Als geometrische Folge geschrieben:
Anfangsglied a₀ = 85.000
Faktor q = 1,02
a_n = a₀ * q^n
a_13 = 85.000 * 1,02^13
@KN
Wie gesagt/geschrieben:
Wir wissen ja nicht, in welchem Land sich das Ganze abgespielt hat.
Du schickst uns einen wunderschönen Link der "Westdeutschen Lotterie".
Und was, wenn Paula nun wirklich ein kleines rumänisches Mädchen ist? Gelten in Bukarest auch deutsche Gesetze?
Außerdem steht in der Aufgabe gar nicht, dass Paula den Lotto-Schein auch selber abgegeben hat.
Nur AUSGEFÜLLT.
Und das ist selbst in deutschen Landen nicht verboten.
Papi hat den Schein wohl zur Annahmestelle gebracht, Papi weiß auch, dass es Paula war, die den Schein einfach mal so aus Spaß ausgefüllt hat.
Und nun wissen wir das auch noch.
Aber, KN, gelt, wir verraten nix!
@TWally
Es ist zwar toll, dass Du eine Seite im Netz gefunden hast, wo eine andere Aufgabe zur Zinsrechnung vorgerechnet wird (ist ja auch schon eine Intelligenzleistung)
ABER:
1. Die Frage hieß nicht: WO finde ich eine Formel, sondern WIE finde ich eine Formel.
Genau DAS habe ich aber in den ersten Sätzen zu zeigen versucht.
2. Überschrift lesen! (Auch 'ne Intelligenzleistung)
Es war nach der Herleitung einer Formel für eine geometrische Folge gefragt. Dazu konkret findet sich in Deiner Beispielaufgabe nun leider nuppi-nuppi-nixi
So schön Wurzelgnom mathematisch vorgerechnet, was Paula bekommen würde, in der Realität ist der Betrag deutlich niedriger. Nach den Teilnahmebedingungen §5 Ziffer 3 ( http://www.westdeutsche-lotterie.de/media/pdf-files/tbs/TB_Lotto.pdf ) gilt "Die Spielteilnahme Minderjähriger ist gesetzlich unzulässig." Somit ist kein Vertrag zustande gekommen. Paula bekommt Ihren Einsatz zurück (z.B. 1 €), aber keinen Gewinn. Würden die Eltern diesen Anlegen und da Banken nur auf abgerundete volle Euros Zinsen zahlen, bekommt Paula jedes Jahr 2 Cent Zins. Es dauert 50 Jahre, bis sich erstmals der der Zinseszinseffekt bemerkbar macht. Somit käme man auf (1+13*0.02) € =1,26 €. Da Bank an 1. Januar zu haben, und immer zu Ihren Gunsten runden, bekommt sie im Gewinnjahr, falls der Gewinns vor dem 29. Juni eingezahlt wurde (der Tag des Einzahlens zählt auch nicht) 1 Cent danach 0 Cent. Beim Abheben gilt gleiches außer, dass der Tag des Abhebens nicht mit zählt. Also bekommt Paula in ihren Jahr der Volljährigkeit auch 1-2 Cent weniger Zins. Mit einen Kapital von 1,22 bis 1,24 € fällt dann die Feier zum 18. etwas weniger üppiger aus.
AntwortenLöschenWarum müssen Matheaufgaben so realitätsfern sein?
Hallo Antonia!
AntwortenLöschenIch sage Dir, wie Du eine Formel findest, die nur von einer Variablen abhängt (hier n=Jahre). Du schreibst für jedes einzelne Jahr die Berechnungen auf, die man durchführt, wenn man 85'000 13 Jahre lang auf einer Bank deponiert, und dieses Geld Jahr für Jahr (Schritt für Schritt) verzinst. Wenn Dir nach den ersten Schritten nichts auffällt (irgendwelche Regelmässigkeiten, indem man die Zahlen ausklammert oder zusammenfasst), solltest Du vielleicht doch mal die Seite anklicken, die Dir TWally angegeben hat.
Wenn es eine Intelligenzleistung ist, diese Seite zu finden, was mag dann für Wurzelgnom intelligent sein, wenn man auf dieser Seite bis nach unten skrollt? Nein, Scherz beiseite. Das ist jetzt wirklich mein Ernst. Auf dieser Seite findest Du nicht nur die Formel der Zinsrechnung, sondern auch (ganz unten) die Formel der Zinseszinsrechnung, geometrische Folge. Das gibt Dir aber nur die Lösung an, d.h. sie muss im Enddefekt so aussehen. Allerdings wird Dir das nichts nützen, wenn Du die einzelnen Schritte nicht selbst aufstellst. Du kannst Deine einzelnen Schritte aber mit den Ergebnissen, in der Formel eingesetzt, gegenüberstellen und vergleichen. Wenn Du nach dem 13. Schritt immer noch nicht drauf gekommen bist, hast Du zumindest einen Teil Deiner Hausaufgaben gemacht.
Ich kann TWally nur zustimmen. Einmal abgesehen davon, dass Wurzelgnoms Antwort, meines Erachtens, ein kläglicher Versuch ist, zu zeigen, dass die Formel der Zinseszinsrechnung eine geometrische Folge ist,(nur zur Information: Das beweist man mit dem Prinzip der vollständigen Induktion! ). glaube ich, dass Dein Lehrer mit dieser Antwort nicht zufrieden wäre, weil es keine korrekte Vorgehensweise ist, um eine Formel zu finden.
Also, TWally hat Recht, wenn er schreibt, dass Wurzelgnoms Antwort nur ein kleiner Schritt der Endlösung ist.
Also zurück zu Deinem Problem: Wie finde ich eine Formel?
Frag Dich mal: Was passiert nach einem Jahr?
Wie rechnet man 2% Zinsen von 85'000 aus und lässt das Anfangskapital auf der Bank?
n=1=> 85'000*2% Zinsen + 85'000
Was passiert, wenn man diesen Betrag wieder mit 2% versinst?
n=2 => (85'000*2% Zinsen + 85'000)*2% + (85'000*2% Zinsen + 85'000)
n=3 =>
usw.
Und jetzt schaust Du mal, was man Alles vereinfachen, ausklammern, oder faktorisieren kann, o h n e 85'000*2% auszurechnen. Fang bei Schritt n=1 an. Viel Erfolg!
Gruß