Also ich hab' grade so'ne Aufgabe vormir die da lautet:
Dreieck UWE
Winkel EUW ist y
Winkel UWE ist d(elta)
Winkel WEU ist E(psilon)
es ist ein spitzwinkliges Dreieck
so gegeben sind u, w und d. E soll bestimmt werden. Stellen sie die Lösungsschritte zur Berechnung von E dar und begründen Sie diese! (Aufgabe)
Naja und ich bin mit dem Sinussatz ganz einfach auf y gekommen und hab dann mitdem Innenwinkelsatz E ausgerechnet. Kein Problem bis jetzt.
Jetzt stand beim Kontrollieren in den Lösungen, dass in diesem Fall nur eine Lösung herauskommen kann weil es ein spitzwinkliges Dreieck ist. Wieso das? Was hat das für 'nen Grund und wann kommen dann 2 Lösungen raus? Ist das beim Cosinussatz auch so? Wenn ja in welchen Fällen?
Best answer:
Answer by Melishe
Der Kosinussatz ist immer eindeutig (das liegt daran, dass es zwischen 0° und 180° niemals für verschiedene Winkel denselben Kosinus-Wert gibt und Dreieckswinkel immer zwischen 0° und 180° liegen).
Der Sinussatz kann zu falschen Ergebnissen führen, allerdings nur in einem Fall, wenn man den größten Winkel im Dreieck mit dem Sinussatz ausrechnen möchte. Es ist nämlich so, dass nur der größte Winkel im Dreieck über 90° sein kann, es gibt der TR aber immer nur Winkel zwischen 0° und 90° an, wenn man aus einem Sinuswert den Winkel errechnen möchte.
Weiß man, dass das Dreieck spitzwinkelig ist, ist auch der Sinussatz eindeutig.
Tipp: Berechne den Winkel, der der größten Seite gegenüberliegt, lieber durch Winkelsumme oder Kosinussatz, dann kann nichts schief gehen.
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mach dir einen Halbkreis , dann nimmst du irgendeinen Punkt am Halbkreis ( im linken Teil), dann ziehst du eine Linie zum Mittelpunkt des Halbkreises, das wäre dann die Hypothenuse, nimmst dann die Grundlinie als Kathete bis zu dem Punkt wo du rechtwinklig zum Ausgangspunkt bist. dort ziehst du dann die Linie wieder zum Ausgangspunkt, jetzt hast du in der linken Hälfte des Halbkreises ein Dreieck ( egal ob rechtwinklig oder gleichschenklig zum erklären des Problems)
AntwortenLöschenVom Ausgangspunkt machst du parallel zur Grundlinie einen Punkt an der Rechten Seite an der Stelle wo sich die Parallele mit dem rechten Teil des Halbkreises schneidet. jetzt wiederholst du den Vorgang vom ersten Teil seitenverkehrt und du wirst feststellen dass du dann zwei identische seitenverkehrte Dreiecke bekommst. du könntest das auch mit einem vollen Kreis darstellen dann bekämmst du dann 4 Dreiecke die identisch sind für jeden Quadranten einen.
der Kreis stellt den sinus oder cosinus dar, die Sinuskurve oder auch die Cosinuskurve den zeitlichen Verlauf des Kreises oder in diesem Fall des Sinus oder des Cosinus dar.
angewendet wird dies in der Elektrotechnik als Wechselspannung.
Das hat jetzt nicht in erster Linie etwas mit dem Sinussatz zu tun.
AntwortenLöschenDu hast ein Dreieck, von dem Du zwei Seiten und einen anliegenden Winkel kennst.
SSW
Das ist eine Konstruktion nach dem "verrückten" 4. Kongruentsatz.
Und der würde heißen:
Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem DER GRÖSSEREN SEITE GEGENÜBERLIEGENDEN WINKEL übereinstimmen.
Wenn der Winkel jedoch der kleineren Seite gegenüberliegt, sind drei Fälle möglich:
- es gibt kein derartiges Dreieck (bei dem Versuch einer Konstruktion ergibt sich kein Schnittpunkt)
- es gibt genau ein solches Dreieck (bei der Konstruktion berührt die Kreislinie den freien Schenkel des Winkels; das Dreieck wird rechtwinklig)
- es gibt zwei derartige Dreiecke, ein spitzwinkliges und ein rechtwinkliges
Letzterer Sachverhalt muss sich nun natürlich auch in der Berechnung widerspiegeln; will sagen: auch rechnerisch muss es die beiden Lösungen geben.
Stelle ich dabei die Gleichung nach dem Sinus um, dann gehören zu jedem Sinus zwischen 0 und 1 immer je ein Winkel im 1. und 2. Quadranten, denn es gilt:
sin (180° - x) = sin x
Arbeite ich mit dem Kosinussatz, gehe ich von zwei Seiten und dem EINGESCHLOSSENEN WINKEL aus.
Hier gilt also der Kongruentsatz SWS:
Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen. Dieser Satz gilt ohne Einschränkungen, ein solches Dreieck ist also eindeutig bestimmt. Das muss sich nun ebenfalls in der Berechnung widerspiegeln.
Für den Kosinus gilt nun aber
cos (180° - x) = - cos x
Es kann also keine Doppellösungen im 1. und 2. Quadranten geben.
cos x = cos ( - x) = cos (360° - x)
Diese Mehrfachlösungen ergeben aber Winkel, die bei Dreiecken nicht auftreten können.
Lediglich bei Schnittwinkeln von Geraden muss man entscheiden, welcher der beiden möglichen Winkel gemeint ist (meist der kleinere).
@Melishe
Wenn - wie in diesem Fall - u, w und delta gegeben sind, hilft kein Trick. Da kommt man nicht um den Sinussatz herum.