Zusammenhang zwischen einer biquadratischen Gleichung und einer Funktionsgleichung?

Question by Angelina: Zusammenhang zwischen einer biquadratischen Gleichung und einer Funktionsgleichung?
Wie lautet der zusammenhang zwischen der Gleichung x4 -13x2 + 36 = 0 , der
Funktionsgleichung f (x) = x4 -13x2 + 36 und der Lage des Graphen / der x-Achse.


Best answer:

Answer by Wurzelgnom
Für eine biquadratische Funktionsgleichung gilt immer:
f ( - x) = f(x)
Ihr Graph ist also axialsymmetrisch bzgl. der y-Achse.

Gegeben sei eine Funktionsgleichung 4. Grades:
y = f(x) = x^4 - 13x² + 36

Wir suchen ihre Nullstellen:
x^4 - 13x² + 36 = 0, also
(x²)² - 13 x² + 36 = 0
x² = 13/2 +/- wurzel(169/4 - 144/4)
x² = 13/2 +/- wurzel(25/4)
x² = 13/2 +/- 5/2
x² = 8/2 = 4 oder
x² = 18/2 = 9

Damit hat die Funktion vier Nullstellen:
- 3; - 2; 2 und 3

Wir wissen also bereits:
Der Graph der Funktion kommt von links oben.
Er schneidet die x-Achse bei x = - 3
Zwischen - 3 und - 2 muss er seinen globalen Tiefpunkt haben.
Bei - 2 schneidet der Graph - von unten kommend - die x-Achse ein zweites Mal.
Bei y = 36 geht er durch die y-Achse, wo er ein lokales Maximum hat.
Und nun wird das Bild an der y-Achse gespiegelt.
Bei x = 2 taucht der Graph wieder unter die x-Achse ab, nimmt zwischen 2 und 3 erneut sein globales Minimum an, um nach dem Passieren der x-Achse bei x = 3 erneut nach oben zu verschwinden.

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