Question by Valleo: Wie kann ich rechnerisch den Scheitelpunkt einer Funktionsgleichung ermitteln?
Ich hab das problem lange krank gewesen zu sein und soll jetzt alles im Unterricht besprochene selbst nachholen, deswegen hoffe ich mal hier eine Antwort auf meine Frage zu bekommen.
Mal als Beispiel: Bestimmte rechnerisch die Koordinaten des Scheitelpunkts der quadratischen Funktion mit : y= 3x²-6x+2#
Erstmal danke für alle Antworten.
Dummerweise hab ich vergessen zu sagen, dass ich erst in die 9. Klasse gehe und mit Ableitungen und Differentialrechnung nicht wirklich etwas anfangen kann.
Best answer:
Answer by sk4ter
Funktion einmal ableiten, gleich 0 setzen und nach x auflösen.
Ist etwas kompliziert hier alles vorzurechnen, das wird schnell verwirrend.
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sk4ter hat erstmal recht.
AntwortenLöschendas würde dann bedeuten, dass die Steigung (erste Ableitung) dort = 0 ist.
Prinzipiell könnte es sicher um einen Scheitelpunkt/Wendepunkt handel oder einen Sattelpunkt.
Um sicher zu gehen, setzte 2 Werte in die Ableitung ein.
1. einen knapp über dem Wert
2. einen knapp under dem Wert
--> gibt es einen Vorzeichenwechsel (+/- oder -/+) ist ein ein Scheitelpunkt
Viel Erfolg
**edit**
@Wurzelgnom:
klar ist das eine Parabel und man weiss dass es nur einen Scheitelpunkt geben kann.
ich kenn es nur von meinem Prof, dass er trotzdem immer diese Prüfung haben wollte.. :-)
kommt immer drauf an, was gefodert ist, aber kann auch durchaus sein, dass er auch mit anderen gleichungen rechnen muss..
naja. :)
Erst mal, Valleo,
AntwortenLöscheneine Funktionsgleichung kann keinen Scheitelpunkt haben, nur die durch sie dargestellte Parabel.
Du hast da nämlich eine quadratische Funktion, deren Bild in jedem Fall eine Parabel ist und damit genau einen Scheitelpunkt hat.
(Was sonne 101 schreibt, trifft hier also gar nicht zu)
Jetzt weiß ich aber nicht, in welcher Klasse Du bist.
Vielleicht sagen Dir solche Begriffe wie "ableiten" und "erste Ableitung" noch gar nichts.
Ich würde nämlich die 3 ausklammern und dann die quadratische Ergänzung suchen.
3x² - 6x + 2 = y
3(x² - 2x) + 2 = y | - 2
3(x² - 2x) = y - 2
3(x² - 2x + 1 - 1) = y - 2
3(x² - 2x + 1) - 3 = y - 2
3(x - 1)² - 3 = y - 2 | + 3
3(x - 1)² = y + 1
Dann würde das heißen, dass man die Parabel y = 3x², die ihren Scheitelpunkt im Koordinatenursprung hat,
um 1 nach rechts verschoben hat und um 1 nach unten.
Der Scheitelpunkt wäre damit bei S(1|-1)
Zur Kontrolle kannst Du auch noch mal f(1) ausrechnen:
f(1) = 3*1² - 6*1 + 2
= 3 - 6 + 2
= - 1
Kleine Korrektur:
@Olli B
Natürlich hat sich da bei mir ein Tipp-/Schreibfehler von der ersten Reihe an durchgezogen.
Habe das jetzt korrigiert
(Die 2 von der linken Seite kommt natürlich als ( - 2) auf der rechten Seite an usw.)
Aber nochmals:
@Olli B
Bei der Rechnung über die erste Ableitung ist HIER die zweite NICHT nötig und überflüssiger Ballast.
y = f(x) = 3x² - 6x + 2
ist die Gleichung einer nach oben geöffneten Parabel.
Es ist völlig kar, DASS die einen Scheitelpunkt hat.
Wenn wir die einzige Stelle gefunden haben, die dafür in Frage kommt, ist alles andere überflüssig!
(Kannste glauben)
Wenn Begründung gefordert, kann man immer angeben, dass die Ableitung einer Funktion zweiten Grades eine lineare Funktion ist, die genau eine NST hat.
Ihre 2. Ableitung ist immer eine von Null verschiedene Konstante.
Wurzelgnom hat richtig gerechnet, der Scheitel dieser Parabel ist bei (1/-2)
AntwortenLöschenJo moin,
AntwortenLöschenalso ich ergänze mal die Lösung durch Diffrentialrechnung, man weiß ja nie was die Pauker so haben wollen:
Die erste Ableitung ist die Steigung der Funktion,
hier ist
f(x)=y= 3x²-6x+2 (# mit Enter gedrückt, richtig?)
also ist
f'(x)=6x-6
f''(x)=6 (ist größer als Null, also ist der Extremwert ein Minimum)
@racine le gnome
Was natürlich wirklich nicht nötig ist. Quadratische Gleichungen mit positivem Vorzeichen vor dem x² gehen nach oben auf und haben deshalb natürlich nur genau ein Minimum. f''(x) ist also de facto über.
Nur, falls einer danach fragt, ist es halt dabei....
Jetzt den Extremwert ausrechnen mit
f'(x)=0
6x-6=0
6x=6
x=1
y=3x²-6x+2
mit x=1
y=3*1-6*1+2
y=3-6+2
y=-1
@Valleo
Wenn Du mit Ableitungen nicht vertraut bist, dann ist Wurzels Lösung die, die Du brauchst.
versuch es mit der scheitelpunktsformel
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