Nehmen wir an, man muss ne Münze 2x mal werfen. Die grundlegende Frage, die sich mir immer stellt: wann muss ich verschiedene Wahrscheinlichkeiten addieren und wann multiplizieren?
Also, z.B. bei der Münze mit 2 Würfen: 1/2 + 1/2 oder 1/2 * 1/2?
Wenn man es noch expliziter nimmt: AuB = P(A) + P(B) - P(A umgekehrtes_u B) und auf der anderen Seite P(A umgekehrtes_u B)= P(A)*P(B). Wenn man vorher nicht weiß, ob es disjoint /independant ist oder nicht, woher weiß man, welches man anwenden soll?
Best answer:
Answer by Danjel
Als Erstes musst Du die Wahrscheinlichkeit überhaupt definieren. Die Frage "Ich würfele drei Mal, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit?" kann nicht beantwortet werden. Die Wahrscheinlichkeit für drei Sechser oder die Zahlenfolge 1, 2, 3 schon.
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Sind die Ereignisse voneinander unabhängig, so wird multipliziert. Siehe bitte wegen abhängig und unabhängig, die Definition im ersten angegebenen Link an.
AntwortenLöschenDer dritte Link wird es dir vermutlich anschaulich erläutern.
Hallo!
AntwortenLöschenDas
P(A umgekehrtes_u B)= P(A)*P(B)
P(A ∩ B) = P(A)*P(B)
ist die Definition der stochastischen Unabhängigkeit
http://de.wikipedia.org/wiki/Stochastische_Unabh%C3%A4ngigkeit#Definition
Zwei Würfe einer Münze (oder Würfel) sind stochastisch unabhängig.
D.h. wenn man die Wahrscheinlichkeit (W.), dass die Münze das Ereignis "Zahl" (oder Würfel: "6") zweimal zeigt, berechnen will, dann darf man ihre Einzel-W. multiplizieren.
Die W., dass im ersten Wurf eine "6" kommt (Ereignis = A ), beträgt 1/6 => P(A) = 1/6
Die W., dass im zweiten Wurf eine "6" kommt (Ereignis = B ), beträgt 1/6 => P(B) = 1/6
P(A ∩ B)= P(A)*P(B) = 1/6*1/6 = 1/36
Die W., dass im ersten UND im zweiten eine "6" kommt beträgt demnach 1/36.
Das "∩" entspricht dem Schnittmengen-Zeichen.
Mengentheoretisch: Ereignismengen A und B werden geschnitten. Es tritt das Ereignis A UND das Ereignis B ein.
In der Schule ist es unter der "1. Pfadregel im Baumdiagramm" bekannt.
Wahrscheinlichkeiten stochastisch unabhängiger Ereignisse werden multipliziert.
Das
P(AuB) = P(A) + P(B) - P(A umgekehrtes_u B)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
ist eine unmittelbare Folgerung aus den drei Kolmogorow Axiomen (W.-theorie)
http://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitstheorie#Folgerungen
Scroll mal weiter runter (Beweis mit Venn-Diagrammen)
Hier muss die Vereinigung der Ereignisse nicht unbedingt disjunkt sein.
Beispiel:
Wir werfen eine Münze zweimal. Wie groß ist die W., dass mindestens einmal "Zahl" kommt. In der Schule machte man ein Baumdiagramm
"Zahl" = Z
"Wappen" = W
Beide Z oder ZW oder WZ entspricht mindestens einmal "Zahl"
.........Z..... => P(Z UND Z) = 1/4
Z--<
.........W ... => P(Z UND W) = 1/4
.........Z...... => P(W UND Z) = 1/4
W--<
..........W..... => P(W UND W) = 1/4
Mit der sogenannten "2. Pfadregel" werden W. addiert
P("mindest. einmal Z") = 1/4 + 1/4 + 1/4 = 3/4
(Beide ZZ oder ZW oder WZ)
In der W.-theorie bedeutet dieses Ereignis "mindest. einmal Z" die Vereinigung dieser beiden Ereignisse A oder B
A = "Zahl"
ODER
B = "Zahl"
und wird dementsprechend mit dieser Formel berechnet:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
(...die Schnittmenge der beiden unabhängigen Ereignisse, also P(A ∩ B) = 1/2*1/2 = 1/4 wird abgezogen)
P(A ∪ B) = 1/2 + 1/2 - 1/2*1/2 = 1/2 + 1/2 - 1/4 = 1 - 1/4 = 3/4
Wie Du siehst, kommt man auf das gleiche Ergebnis, wie mit der "2.Pfadregel" (vielleicht noch aus der Schule bekannt).
Um die Formel P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) besser zu verstehen, noch ein Beispiel:
"∪" bedeutet Vereinigung - "ODER"
"∩" bedeutet Schnittmenge - "UND"
Zwei Würfe einer Münze. Mit welcher W. kommt "Zahl" ODER "Wappen" ?
Ereignis: "Zahl" ODER "Wappen" = A ∪ B
Der gesunde Menschenverstand sagt einem, dieses Ereignis tritt mit einer 100% Sicherheit ein. (Mal abgesehen von: Auf Kante landen).
P(A ∪ B) = 100% = 1
Mit der zweiten Pfadregel würde man alle W. von 1/4 addieren
P(A ∪ B) = 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 = 1
und mit der Formel würde man die Schnittmenge bestimmen, die übrigens leer ist
[A ∩ B = leere Menge], da man nicht "Zahl" UND "Wappen" gleichzeitig werfen kann, bzw. das Ereignis tritt nicht ein, damit ist P(A ∩ B) = 0 und daraus folgt mit der Formel
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
P(A ∪ B) = 1/2 + 1/2 + 0 = 1
Gruß