Wie bestimmt man einen Näherungswert für √7 ohne taschenrechner der auf 2 nachkommastellen genau ist?

Question by Theodora Wilhelmina: Wie bestimmt man einen Näherungswert für √7 ohne taschenrechner der auf 2 nachkommastellen genau ist?
die genau aufgabe lautet:
bestimme ohne verwendung des taschenrechners einen näherungswert für √7, der auf 2 nachkommastellen genau ist.

begründe, dass √7 kein abbrechenderh ist.

beweise, dass √7 irrational ist.



ihr braucht nicht zu schreiben das ihr mir nicht bei hausaufgaben helft denn erstens ist das für eine arbeit und zweitens stehen die lösungen hinten im buch weil das eine übungsaufgabe ist aber dann wüsste ich ja nicht wie man darauf kommt. schonml danke. :)


Best answer:

Answer by Wurzelgnom
Wurzel 7 muss zwischen 2 und 3 liegen, denn, 2² = 4 und 3² = 9

Also muss die Zahl anfangen mit 2, ....
Und nun rechnest Du schriftlich aus:
2,5 * 2,5 =
______
5
125
--------
6,25

2,6 * 2,6 =
-----------
52
156
-----
6,76

2,7 * 2,7 =
-----------
54
189
-----
7,29

Also liegt die Zahl zwischen2,6 und 2,7
Sie fängt also mit 2,6.... an

Und nun probierst Du wieder ein paar Quadrate zwischen 2,6 und 2,7

Das kann man schriftlich machen, auch ohne Taschenrechner.

Der Dezimalbruch wird nie endlich, weil √7 irrational ist.

Das beweist du nun genau so, wie Ihr wahrscheinlich in der Schule bewiesen habt, dass √2 irrational ist.

Wenn Du diesen Beweis verstanden hast, kannst Du ihn auf √7 übertragen.
(Er funktioniert bei allen Wurzeln aus Primzahlen)

Dazu nimmst Du an, √7 wäre rational, und führst das zum Widerspruch

Annahme für indirekten Beweis:
√7 sei rational, dann ließe sich √7 darstellen als gemeiner Bruch zweier teilerfremder Zahlen m und n

√7 = m/n

(Und nun kuckst Du noch mal ins Lehrbuch oder Deine Mitschrift aus dem Unterricht und wiederholst das Beweisverfahren für die Irrationalität von √2)

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