Question by Tom: Wie beweist man diese Aussage über eine beliebige natürliche Zahl a>1?
Die Gleichung (1/x) + (1/y) = 1/a besitzt wenigstens 3 verschiedene Lösungen in den natürlichen Zahlen.
Wie viele Lösungen in den natürlichen Zahlen besitzt diese Gleichung für a=2012?
@OK: Da bleibt die spannende Frage, was diese
drei Lösungen sind!
Best answer:
Answer by OK
Ganz einfach, indem man 3 Lösungen findet.
Nachtrag: wenn du nicht einmal das kannst, dann solltest du dich nicht mit Mathematik beschäftigen.
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Ja gut, aber Punktrechnung geht vor Strichrechnung - wozu dann die Klammern?
AntwortenLöschenSoviele Möglichkeiten wie Du dir ausdenken kannst.
Nimm die Klammern weg und schreibe die Brüche ordentlich hin, dann fällt es Dir wie Schuppen von den Augen, dass Du einfach nur zwei Brüche zu addieren hast, deren Ergebnis eben 1/2012tel ist.
Brüche lassen sich nämlich endlos erweitern, indem man Zähler und Nenner mit jeweils der gleichen Zahl multipliziert.
Bei der Addition von Brüchen jedoch muss man erst einen gemeinsamen Nenner finden - und wenn der hier zufällig dann 4024 wäre, dann hättest schon mal eine Möglichkeit - es besteht zum Beispiel die Möglichkeit, dass x und y gleich sind, eben sogar 4024, schon ergibt 1/4024tel plus 1/4024tel eine Summe von 2/4024teln und dies lässt sich wunderhübsch herunterkürzen auf 1/2012tel.
Die Lösungen sollten daher schon im Bereich der natürlichen Zahlen liegen, da Brüche stets aus natürlichen Zahlen bestehen - der Zähler ist stets eine natürliche Zahl und der Nenner auch - lässt man mal die Geschichte mit negativen Vorzeichen beiseite.
Ok, also nochmal ran, Neustart - so schwierig kann das doch nicht sein.
Hi Tom,
AntwortenLöschendie einfache Antwort auf Deine Frage, in dem man die drei Lösungen angibt.
(x,y) = (2a, 2a)
(x,y) = (a(a+1), a+1)
(x,y) = (a+1, a(a+1))
Die Frage, wieviel Lösungen es für 2012 gibt ist schon schwieriger.
Leider sitz ich hier im Hotel und mir geht das Papier aus. Blöd! Aber viell. schaff ich es auf ein halbes Blatt, was noch übrig ist.
EDIT:
Da schon eine komplette Lösung von Robert vorliegt, noch ein paar Bemerkungen von meiner Seite.
Ich ging dabei vom Lösen der umgestellten Gleichung in der Form a(x+y) = xy über den natürlichen Zahlen aus.
1) Die Mindestzahl von 3 Lösungen gibt es in dem Fall, wenn a prim ist.
2) Für 2012 kann man die Lösungen kompakt zusammenstellen für i=0,1 und j=0,1,2,3,4
x= 503 * (4 + 503^i * 2^j)
y = 2012 + 8048 / (503^i * 2^j)
Robert hat ja die 15 verschiedenen Lösungen bereits aufgelistet.
Aufgabe Teil 1
AntwortenLöschenLösung 1
x = y = 2a
Begründung: (1 / 2a) + (1 / 2a) = 2 / 2a = 1/a
Lösung 2
x = a + 1
y = a * x
Begründung:
( 1 / ( a + 1 ) ) + ( 1 / ( a² + a ) ) = ( a + 1 ) / ( a² + a ) = 1 / a
Lösung 3
Die beiden Werte x und y sind gegenüber Lösung 2 vertauscht. Also:
y = a + 1
x = a * y
Aufgabe Teil 2
Auf alle Fälle die drei Lösungen aus Teil 1.
Insgesamt sind es 15 Lösungen.
Hier die x-Werte
2 013
2 014
2 016
2 020
2 028
2 515
3 018
4 024
6 036
10 060
255 021
508 030
1 014 048
2 026 084
4 050 156
Die entsprechenden y-Werte in umgekehrter Reihenfolge.
EDIT
Beweisführung
1/x + 1/y = 1/2012
1/y = 1/2012 - 1/x
1/y = (x - 2012) / 2012x
y = 2012x / (x - 2012)
Wenn man nun eine neue Variable n definiert und diese in die Gleichung einsetzt ergibt sich:
n = x - 2012 bzw x = 2012 + n
y = 2012 * (2012 + n) / n
y = (2012² + 2012n) / n
y = 2012² / n + 2012
In Primfaktoren zerlegt:
2012 = 2^2 * 503
2012² = 2^4 * 503^2
Somit ergeben sich folgende Teiler n von 2012²:
1
2
4 = 2^2
8 = 2^3
16 = 2^4
503
1006 = 2 * 503
2012 = 2^2 * 503
4024 = 2^3 * 503
8048 = 2^4 * 503
253.009 = 503^2
506.018 = 2 * 503^2
1.012.036 = 2^2 * 503^2
2.024.072 = 2^3 * 503^2
4.048.144 = 2^4 * 503^2
Der Lösungen ergeben sich aus:
x = 2012 + n
y = 2012 + 2012² / n
Insgesamt sind somit nur 15 Lösungen mit Werten im natürlichen Zahlenbereich möglich.
Zuerst dachte ich, es kommt jetzt eine Frage zu vollständiger Induktion;
AntwortenLöschenaber hierbei geht es offensichtlich um Term- bzw. Gleichungsumformungen
und Primfaktorzerlegung.
1 . . . 1 . . .1
--- + --- = ----
x . . . y . . .a
Durch Multiplikation mit dem xy erhält man (nach dem Kürzen):
y + x = xy / a
Multiplikation mit a:
a⋅(x+y) = xy
Division durch (x+y):
. . . . x ⋅ y
a = ----------
. . . . x + y
Es sieht zunächst so aus, als erhielte man "ziemlich viele"
Paare (x|y) natürlicher Zahlen.
Wenn es (zunächst) um a ∈ |N geht, also eine "beliebige" nat. Zahl a>1,
dann könnte man beginnen mit a=2 und sehen, was daraus wird:
=============
a=2 ⇒ 2x+2y=xy
=============
Da behauptet wurde, dass es wenigstens drei Lösungen gibt,
versuche ich einmal, die mit den "Randwerten" bzw. mit dem "Mittelwert" zu zeigen.
(Diese Begriffe habe ich jetzt mal so gewählt.)
Die Null für x oder y entfällt von vornherein, da man (in |R) nicht durch Null dividieren kann.
Wählt man als "Randwert" x=1 (oder y=1), gibt es keine Lösung mit x,y∈|N:
x=1 ⇒ 2+2y=y ⇒ y=-2 ∉ |N (geht auch nicht für y=1)
Versuch mit dem "Mittelwert", also wo x=y gilt:
x=y ⇒ 4x=x² (bzw. 4y=y²) ⇒ Da x=0 bzw. y=0 entfallen (vgl. oben),
kann man die folgenden beiden (noch allgemeinen) Lösungen ablesen:
4⋅x=x⋅x bzw. 4⋅y=y⋅y
Daraus ergibt sich für x=y=4 die Lösung (4|4).
Für mich ergibt sich also schon jetzt, für a=2 lediglich EINE Lösung...
=============
a=3 ⇒ 3x+3y=xy oder:
=============
Aus
. . . . x ⋅ y
3 = ----------
. . . . x + y
folgt, dass das Produkt der natürlichen Zahlen x und y
drei Mal so groß sein muss wie ihre Summe.
Für die Summe ergeben sich jedoch (wegen x,y≠0) lediglich zwei Möglichkeiten:
1+2 bzw. 2+1
Dann ist jedoch ihr Produkt nur 2.
FRAGE:
Sollen x und y NICHT NATÜRLICHe Zahlen sein?
Zumindest will ich jetzt noch etwas schreiben zu a=2012 (und x,y∈|N):
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
. . . . . . . x ⋅ y
2012 = ----------
. . . . . . . x + y
Zerlegung von 2012 in Primfaktoren: 2012 = 2⋅2⋅503
Unter der Bedingung, dass auch x,y∈|N sind,
kann man für das Produkt im Zähler nur schreiben:
1⋅2012
2⋅1006
4⋅503
503⋅4
1006⋅2
2012⋅1
Man erhielte jedoch für die Summe im Nenner
2013, 1008 bzw. 507
Aus den gesamten Ausführungen dazu entnehme ich nun, dass x und y KEINE NATÜRLICHEN ZAHLEN sind, sondern x,y∈|R sind. Das würde normalerweise aber schon in der Aufgabenstellung stehen.
Und nun habe ich keine Lust, das Ganz noch einmal von vorn zu beginnen - auch wenn mir noch nicht "das Papier ausgeht".
Ich denke, die prinzipielle Herangehensweise ist ersichtlich geworden.