Es sei ein Körper gegeben, welcher aus verschiedenen Quadern gleicher Abmessungen und gleicher Dichte besteht. Diese Quader sind variabel angeordnet, also auf- und nebeneinander (denke: Lego-Steine).
Nun möchte ich das Massenträgheitsmoment J dieses Körpers berechnen. Ich habe eine Tabelle, in der für einige Körper die Formeln zur Berechnung desselben angegeben sind (z.B. für einen Quader, der um die z-Achse rotiert: J = 1/12*m*(l^2+b^2)) und auch die Allgemeine:
http://upload.wikimedia.org/math/c/f/5/cf5ca7d2486f5c5b408b94004183aefd.png
Dabei soll r den Abstand des Massen- bzw. Volumenelements zur Drehachse bedeuten. Diese Gleichung entzieht sich aber meinem Verständnis.
Folgende Frage stellt sich also:
Mir ist das Konzept des Volumenintegrals nicht ganz klar. Soll ich eine Funktion entwickeln, die für die Parameter (x,y,z) eines "Punktes" dessen Abstand zur Drehachse angibt und diese dann nacheinander integrieren ? Wie sind diese Ergebnisse verknüpft ? Wo kommt da die Stammfunktion her ? Und sind sie Integrationsgrenzen einfach die Grenzen des Körpers?
Wenn jemand Verweise hätte auf eine Erklärung oder selbst eine liefern kann, wäre ich sehr dankbar.
Best answer:
Answer by SunBee
das mit dem R geht vorallem gut in polarkoordinaten oder kugelkoordinaten.
dort ist r = wurzel (x^2 + y^2) .. oder r^2 = x^2 + y^2
hier hast du eine liste mit massenträgheistmomenten (in tensor form) verschiedener körper
http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_moment_of_inertia_tensors
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Du solltest dir mal den Satz von Steiner betrachten ( http://de.wikipedia.org/wiki/Steinerscher_Satz ). Wenn Du das Massenträgheitsmoment bezüglich einer Achse durch den Schwerpunkt eines Körpers bestimmte hast I_K ist das Massenträgheitsmoment bezüglich einer dazu parallelen Achsen im Abstand d
AntwortenLöschenI = I_K + m d²
dabei ist m die Masse des Körpers. Somit kannst du die Massenträgheitsmoment der einzelnen Legosteine in Bezug auf die Drehachse berechnen und addieren. Fertig!
Um nun das Massenträgheitsmoment eines Quadert zu berechnen verwendet du das Volumenintegral
(zur Schreibweise Int_a_b meint Integral von a bis b
I=rho (Int_-a/2_a/2 Int_-b/2_b/2 Int_-c/2_c/2 r² dx dy dz =
rho (Int_-a/2_a/2 Int_-b/2_b/2 Int_-c/2_c/2 (x²+y²) dx dy dz
Jetzt werden die einzelen Integrale gelöst, die Reihenfolge ist egal, ich beginne von rechts nach links.
I =rho (Int_-a/2_a/2 Int_-b/2_b/2 (x²+y²) dx dy z|{-c/2,c/2)
= rho c (Int_-a/2_a/2 (x² y + y³/3) dx |{-b/2,b/2}
= rho c (Int_-a/2_a/2 (x² b + b³/12) dx
= rho b c (Int_-a/2_a/2 (x² + b²/12) dx
= rho b c (x³/3+ b² x/12)|{-a/2,a/2}
=rho b c (a³/12+ b² a/12)
=rho a b c (a²/12 + b²/12)
= rho V (a²/12 + b²/12)
= m (a²/12 + b²/12)